Господин Экзамен

Интеграл (x)*log(x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1            
  /            
 |             
 |  x*log(x) dx
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(x \right)}\, dx$$
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть .

        Затем .

        Чтобы найти :

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

    Метод #2

    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть .

      Затем .

      Чтобы найти :

      1. Интеграл есть когда :

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Интеграл есть когда :

      Таким образом, результат будет:

  2. Теперь упростить:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                   2    2       
 |                   x    x *log(x)
 | x*log(x) dx = C - -- + ---------
 |                   4        2    
/                                  
$${{x^2\,\log x}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}$$
Ответ [src]
-1/4
$$-{{1}\over{4}}$$
=
=
-1/4
$$- \frac{1}{4}$$
Численный ответ [src]
-0.25
-0.25

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.