Интеграл (x)*log(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u e^{2 u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = 2 u$.

               Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Метод #2

            1. пусть $u = e^{2 u}$.

               Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

         1. пусть $u = 2 u$.

            Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{2 u}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$