Интеграл x*acos(2*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\, dx$

   SqrtQuadraticDenomRule(a=1, b=0, c=-4, coeffs=[1, 0, 0], context=x**2/sqrt(1 - 4*x**2), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $\frac{x \sqrt{1 - 4 x^{2}}}{8} - \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{16}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{x \sqrt{1 - 4 x^{2}}}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{x \sqrt{1 - 4 x^{2}}}{8} + \frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$