Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x)^2)/(cos(x)^6)
Интеграл (8*x^2+16*x+17)*cos(4*x)
Интеграл (cos(x))^2*(sin(x))^4
Интеграл (1+cot(x))/(sin(x)+2*cos(x))^2
Идентичные выражения
(восемь *x^ два + шестнадцать *x+ семнадцать)*cos(четыре *x)
(8 умножить на x в квадрате плюс 16 умножить на x плюс 17) умножить на косинус от (4 умножить на x)
(восемь умножить на x в степени два плюс шестнадцать умножить на x плюс семнадцать) умножить на косинус от (четыре умножить на x)
(8*x2+16*x+17)*cos(4*x)
8*x2+16*x+17*cos4*x
(8*x²+16*x+17)*cos(4*x)
(8*x в степени 2+16*x+17)*cos(4*x)
(8x^2+16x+17)cos(4x)
(8x2+16x+17)cos(4x)
8x2+16x+17cos4x
8x^2+16x+17cos4x
(8*x^2+16*x+17)*cos(4*x)dx
Похожие выражения
(8*x^2+16*x-17)*cos(4*x)
(8*x^2-16*x+17)*cos(4*x)

Решение интегралов/ (8*x^2+16*x+17)*cos(4*x)

Интеграл (8x^2+16x+17)cos(4x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                               
  /                               
 |                                
 |  /   2            \            
 |  \8*x  + 16*x + 17/*cos(4*x) dx
 |                                
/                                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(8 x^{2} + 16 x + 17\right) \cos{\left(4 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(8 x^{2} + 16 x + 17\right) \cos{\left(4 x \right)} = 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)} + 16 x \cos{\left(4 x \right)} + 17 \cos{\left(4 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 8 \int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
    Таким образом, результат будет: $2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + x \cos{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 16 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 16 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $4 x \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 17 \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 17 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{17 \sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  Результат есть: $2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + 4 x \sin{\left(4 x \right)} + x \cos{\left(4 x \right)} + 4 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = 8 x^{2} + 16 x + 17$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 16 x + 16$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 4 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = 4 x + 4$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 4 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$
  Теперь решаем под-интеграл.
3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
  1. пусть $u = 4 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(8 x^{2} + 16 x + 17\right) \cos{\left(4 x \right)} = 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)} + 16 x \cos{\left(4 x \right)} + 17 \cos{\left(4 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 8 \int x^{2} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
    Таким образом, результат будет: $2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + x \cos{\left(4 x \right)} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 16 x \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 16 \int x \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
      
      пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $4 x \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 17 \cos{\left(4 x \right)}\, dx = 17 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 4 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{17 \sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  Результат есть: $2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + 4 x \sin{\left(4 x \right)} + x \cos{\left(4 x \right)} + 4 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + 4 x \sin{\left(4 x \right)} + x \cos{\left(4 x \right)} + 4 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + 4 x \sin{\left(4 x \right)} + x \cos{\left(4 x \right)} + 4 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                                      
 |                                                                                                       
 | /   2            \                                                2                                   
 | \8*x  + 16*x + 17/*cos(4*x) dx = C + 4*sin(4*x) + x*cos(4*x) + 2*x *sin(4*x) + 4*x*sin(4*x) + cos(4*x)
 |                                                                                                       
/

$${{{{\left(16\,x^2-2\right)\,\sin \left(4\,x\right)+8\,x\,\cos \left(4\,x\right)}\over{2}}+4\,\left(4\,x\,\sin \left(4\,x\right)+ \cos \left(4\,x\right)\right)+17\,\sin \left(4\,x\right)}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

-1 + 2*cos(4) + 10*sin(4)

$$10\,\sin 4+2\,\cos 4-1$$

-1 + 2*cos(4) + 10*sin(4)

$$10 \sin{\left(4 \right)} + 2 \cos{\left(4 \right)} - 1$$

Упростить

Численный ответ [src]

-9.87531219480651

-9.87531219480651

График

$Интеграл (8*x^2+16*x+17)*cos(4*x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (8x^2+16x+17)cos(4x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3