Интеграл (1+cot(x))/(sin(x)+2*cos(x))^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\cot{\left(x \right)} + 1}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = \frac{\cot{\left(x \right)} + 1}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\cot{\left(x \right)} + 1}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $- \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}$

      Результат есть: $\int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx - \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\cot{\left(x \right)} + 1}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = \frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $- \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}$

      Результат есть: $\int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx - \frac{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \int \frac{\cot{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\, dx + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}}{\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$