Интеграл sec(x)^(2)/tan(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}}{\sec^{2}{\left(x \right)} - 1}$

   2. пусть $u = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$.

      Тогда пусть $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$