Интеграл x*log(x-1) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx}{2}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x - 1 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$