Интеграл sin(3*x)^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = 6 x$.

         Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$