Интеграл x^2*atan(x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\, dx}{3}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = x^{2}$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{u}{2 u + 2}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

               1. пусть $u = u + 1$.

                  Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

            Результат есть: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = x^{2} + 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{6} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$