Интеграл x*atan(1/x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\, dx}{2}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left(x \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

         Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$