Интеграл t/(t+1) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{t}{t + 1} = 1 - \frac{1}{t + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dt = t$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{t + 1}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t + 1}\, dt$

      1. пусть $u = t + 1$.

         Тогда пусть $du = dt$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(t + 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(t + 1 \right)}$

   Результат есть: $t - \log{\left(t + 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t - \log{\left(t + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$t - \log{\left(t + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$