Интеграл cos(3*x)^(4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (3*x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\cos^{4}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 12 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 12 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 12 dx$ и подставим $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{144}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 6 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{96}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                             
 |                                              
 |    4               sin(6*x)   sin(12*x)   3*x
 | cos (3*x) dx = C + -------- + --------- + ---
 |                       12          96       8 
/

$${{{{{{\sin \left(12\,x\right)}\over{2}}+6\,x}\over{8}}+{{\sin \left(6\,x\right)}\over{2}}+{{3\,x}\over{2}}}\over{6}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                       3          
3   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
- + ------------- + --------------
8         8               12

$${{\sin 12+8\,\sin 6+36}\over{96}}$$

                       3          
3   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
- + ------------- + --------------
8         8               12

$$\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{12} + \frac{3}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.346126073920918

0.346126073920918

График

$Интеграл cos(3*x)^(4) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл cos(3*x)^(4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2