Интеграл log(x)^3 d{x}

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int u^{3} e^{u}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = u^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 6 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   4. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Таким образом, результат будет: $6 e^{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6\right)+ \mathrm{constant}$