Интеграл x^2*log(x^3) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x^{3} \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 dx}{x}$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u e^{u}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u e^{u}}{3}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{3}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u e^{u}}{3} - \frac{e^{u}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{3} \log{\left(x^{3} \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{3}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{3} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3} \left(\log{\left(x^{3} \right)} - 1\right)}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \left(\log{\left(x^{3} \right)} - 1\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \left(\log{\left(x^{3} \right)} - 1\right)}{3}+ \mathrm{constant}$