Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл exp(-x^2)
Интеграл x/(exp(x))
Интеграл e^(acos(x))
Интеграл cos(x)^(n)
График функции y =:
x^3*log(x)^(3)
Идентичные выражения
x^ три *log(x)^(три)
x в кубе умножить на логарифм от (x) в степени (3)
x в степени три умножить на логарифм от (x) в степени (три)
x3*log(x)(3)
x3*logx3
x³*log(x)^(3)
x в степени 3*log(x) в степени (3)
x^3log(x)^(3)
x3log(x)(3)
x3logx3
x^3logx^3
x^3*log(x)^(3)dx
Похожие выражения
x^3*(log(x)^31)

Интеграл x^3*log(x)^(3) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |   3    3      
 |  x *log (x) dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{3} \log{\left(x \right)}^{3}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .

Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :

$\int u^{3} e^{4 u}\, du$
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(u \right)} = u^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    1. пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
    Метод #2
    1. пусть $u = e^{4 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 e^{4 u} du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{1}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(u \right)} = \frac{3 u^{2}}{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3 u}{2}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
  1. пусть $u = 4 u$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
        
        $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{4 u}}{4}$
  Теперь решаем под-интеграл.
3. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(u \right)} = \frac{3 u}{8}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{8}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
  1. пусть $u = 4 u$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
        
        $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{4 u}}{4}$
  Теперь решаем под-интеграл.
4. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{3 e^{4 u}}{32}\, du = \frac{3 \int e^{4 u}\, du}{32}$
  1. пусть $u = 4 u$ .
    
    Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
        
        $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{4 u}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{3 e^{4 u}}{128}$
Если сейчас заменить $u$ ещё в:

$\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}^{3}}{4} - \frac{3 x^{4} \log{\left(x \right)}^{2}}{16} + \frac{3 x^{4} \log{\left(x \right)}}{32} - \frac{3 x^{4}}{128}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{4} \cdot \left(32 \log{\left(x \right)}^{3} - 24 \log{\left(x \right)}^{2} + 12 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{128}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{4} \cdot \left(32 \log{\left(x \right)}^{3} - 24 \log{\left(x \right)}^{2} + 12 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{128}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{4} \cdot \left(32 \log{\left(x \right)}^{3} - 24 \log{\left(x \right)}^{2} + 12 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{128}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                  
 |                        4      4    2       4    3         4       
 |  3    3             3*x    3*x *log (x)   x *log (x)   3*x *log(x)
 | x *log (x) dx = C - ---- - ------------ + ---------- + -----------
 |                     128         16            4             32    
/

$${{x^4\,\left(32\,\left(\log x\right)^3-24\,\left(\log x\right)^2+12 \,\log x-3\right)}\over{128}}$$

Упростить

Ответ [src]

-3/128

$$-{{3}\over{128}}$$

-3/128

$$- \frac{3}{128}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.0234375

-0.0234375

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x^3*log(x)^(3) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2