Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл dx/5
Интеграл 6*cos(2*x)
Интеграл 6*x-5
Интеграл cos(1-2*x)
Производная:
x^2*sin(2*x)
График функции y =:
x^2*sin(2*x)
Предел функции:
x^2*sin(2*x)
Идентичные выражения
x^ два *sin(два *x)
x в квадрате умножить на синус от (2 умножить на x)
x в степени два умножить на синус от (два умножить на x)
x2*sin(2*x)
x2*sin2*x
x²*sin(2*x)
x в степени 2*sin(2*x)
x^2sin(2x)
x2sin(2x)
x2sin2x
x^2sin2x
x^2*sin(2*x)dx
Похожие выражения
(x^2)*sin(2*x)
x^2*sin(2*x-3)
cos(2*x)^(2)*sin(2*x)^(2)
e^(sin(x))^2*sin(2*x)
x^2*sin(2*x+3)*dx

Решение интегралов/ x^2*sin(2*x)

Интеграл x^2sin(2x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |   2            
 |  x *sin(2*x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
    
    Интеграл от синуса есть минус косинус:
    
    $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    Метод #2
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    
    пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
    
    Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = - x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
  Теперь решаем под-интеграл.
3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$
Метод #2
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 2 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = - x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  3. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$
      
      Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{4}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$
      
      пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$
    Результат есть: $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$
  Таким образом, результат будет: $- x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                        
 |                                               2         
 |  2                   cos(2*x)   x*sin(2*x)   x *cos(2*x)
 | x *sin(2*x) dx = C + -------- + ---------- - -----------
 |                         4           2             2     
/

$${{4\,x\,\sin \left(2\,x\right)+\left(2-4\,x^2\right)\,\cos \left(2 \,x\right)}\over{8}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

  1   sin(2)   cos(2)
- - + ------ - ------
  4     2        4

$${{2\,\sin 2-\cos 2}\over{4}}-{{1}\over{4}}$$

  1   sin(2)   cos(2)
- - + ------ - ------
  4     2        4

$$- \frac{1}{4} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.308685422549626

0.308685422549626

График

$Интеграл x^2*sin(2*x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x^2sin(2x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2