Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = cos(2*x)^(2)*sin(2*x)^(2) dx (косинус от (2 умножить на x) в степени (2) умножить на синус от (2 умножить на x) в степени (2)) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 2*sin(x/3)
Интеграл (6*x+2)
Интеграл (x^2-5*x+6)*sin(3*x)
Интеграл coth(x)
Идентичные выражения
cos(два *x)^(два)*sin(два *x)^(два)
косинус от (2 умножить на x) в степени (2) умножить на синус от (2 умножить на x) в степени (2)
косинус от (два умножить на x) в степени (два) умножить на синус от (два умножить на x) в степени (два)
cos(2*x)(2)*sin(2*x)(2)
cos2*x2*sin2*x2
cos(2x)^(2)sin(2x)^(2)
cos(2x)(2)sin(2x)(2)
cos2x2sin2x2
cos2x^2sin2x^2
cos(2*x)^(2)*sin(2*x)^(2)dx

Решение интегралов/ cos(2*x)^(2)*sin(2*x)^(2)

Интеграл cos(2x)^(2)sin(2*x)^(2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |     2         2        
 |  cos (2*x)*sin (2*x) dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 4 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(\frac{1}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
    Результат есть: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
  Результат есть: $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 8 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{64}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
  Результат есть: $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                         
 |                                          
 |    2         2               sin(8*x)   x
 | cos (2*x)*sin (2*x) dx = C - -------- + -
 |                                 64      8
/

$${{4\,x-{{\sin \left(8\,x\right)}\over{2}}}\over{32}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

1   cos(4)*sin(4)
- - -------------
8         32

$$-{{\sin 8-8}\over{64}}$$

1   cos(4)*sin(4)
- - -------------
8         32

$$- \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{32} + \frac{1}{8}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.10954127739651

0.10954127739651

График

$Интеграл cos(2*x)^(2)*sin(2*x)^(2) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл cos(2x)^(2)sin(2*x)^(2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3