Интеграл asin(x^2) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{4 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{2 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{asin}{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$