Интеграл ((asin(x))^2+1)/sqrt(1-x^2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ и подставим $du$:

      $\int \left(u^{2} + 1\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{3} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Результат есть: $\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{3} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{3} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\operatorname{asin}^{3}{\left(x \right)}}{3} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$