Интеграл 1/cos(x)^4 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(u^{2} + 1\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$