Производная x*exp(-x^2)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = e^{x^{2}}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x e^{x^{2}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- 2 x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}}\right) e^{- 2 x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(1 - 2 x^{2}\right) e^{- x^{2}}$

Ответ:

$\left(1 - 2 x^{2}\right) e^{- x^{2}}$