Интеграл x*exp(-(x^2)) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{- x^{2}}$.

      Тогда пусть $du = - 2 x e^{- x^{2}} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- x^{2}}}{2}$

   Метод #2

   1. пусть $u = - x^{2}$.

      Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- x^{2}}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{- x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{e^{- x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$