Производная (x^3)*exp(-(x^2)/2)-3*x*exp(-(x^2)/2)+sin(x)

1. дифференцируем $x^{3} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} - 3 x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + \sin{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      $g{\left(x \right)} = e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               Таким образом, в результате: $- 2 x$

            Таким образом, в результате: $- x$

         В результате последовательности правил:

         $- x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$

      В результате: $- x^{4} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + 3 x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            $g{\left(x \right)} = e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}$.

            2. Производная $e^{u}$ само оно.

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

                     Таким образом, в результате: $- 2 x$

                  Таким образом, в результате: $- x$

               В результате последовательности правил:

               $- x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$

            В результате: $- x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$

         Таким образом, в результате: $- 3 x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + 3 e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$

      Таким образом, в результате: $3 x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} - 3 e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$

   3. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $- x^{4} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + 6 x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} - 3 e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- x^{4} + 6 x^{2} + e^{\frac{x^{2}}{2}} \cos{\left(x \right)} - 3\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Ответ:

$\left(- x^{4} + 6 x^{2} + e^{\frac{x^{2}}{2}} \cos{\left(x \right)} - 3\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}}$