Интеграл x^2*log(x+1) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 1}\, dx}{3}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{x + 1} = x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left(x + 1 \right)}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$