Интеграл x*(1+x)^10 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x + 1\right)^{10} = x^{11} + 10 x^{10} + 45 x^{9} + 120 x^{8} + 210 x^{7} + 252 x^{6} + 210 x^{5} + 120 x^{4} + 45 x^{3} + 10 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{10}\, dx = 10 \int x^{10}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{10 x^{11}}{11}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 45 x^{9}\, dx = 45 \int x^{9}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{10}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 120 x^{8}\, dx = 120 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{40 x^{9}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 x^{7}\, dx = 210 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{105 x^{8}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 252 x^{6}\, dx = 252 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $36 x^{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 x^{5}\, dx = 210 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $35 x^{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 120 x^{4}\, dx = 120 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $24 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 45 x^{3}\, dx = 45 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{45 x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{2}\, dx = 10 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{10 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{12}}{12} + \frac{10 x^{11}}{11} + \frac{9 x^{10}}{2} + \frac{40 x^{9}}{3} + \frac{105 x^{8}}{4} + 36 x^{7} + 35 x^{6} + 24 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{4} + \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(11 x^{10} + 120 x^{9} + 594 x^{8} + 1760 x^{7} + 3465 x^{6} + 4752 x^{5} + 4620 x^{4} + 3168 x^{3} + 1485 x^{2} + 440 x + 66\right)}{132}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(11 x^{10} + 120 x^{9} + 594 x^{8} + 1760 x^{7} + 3465 x^{6} + 4752 x^{5} + 4620 x^{4} + 3168 x^{3} + 1485 x^{2} + 440 x + 66\right)}{132}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(11 x^{10} + 120 x^{9} + 594 x^{8} + 1760 x^{7} + 3465 x^{6} + 4752 x^{5} + 4620 x^{4} + 3168 x^{3} + 1485 x^{2} + 440 x + 66\right)}{132}+ \mathrm{constant}$