Интеграл x*(1-x)^10 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |           10   
 |  x*(1 - x)   dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)^{10}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$x \left(1 - x\right)^{10} = x^{11} - 10 x^{10} + 45 x^{9} - 120 x^{8} + 210 x^{7} - 252 x^{6} + 210 x^{5} - 120 x^{4} + 45 x^{3} - 10 x^{2} + x$
Интегрируем почленно:
1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
  
  $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 10 x^{10}\right)\, dx = - 10 \int x^{10}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{10 x^{11}}{11}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 45 x^{9}\, dx = 45 \int x^{9}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{10}}{2}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 120 x^{8}\right)\, dx = - 120 \int x^{8}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{40 x^{9}}{3}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 210 x^{7}\, dx = 210 \int x^{7}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{105 x^{8}}{4}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 252 x^{6}\right)\, dx = - 252 \int x^{6}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$
  Таким образом, результат будет: $- 36 x^{7}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 210 x^{5}\, dx = 210 \int x^{5}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$
  Таким образом, результат будет: $35 x^{6}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 120 x^{4}\right)\, dx = - 120 \int x^{4}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$
  Таким образом, результат будет: $- 24 x^{5}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 45 x^{3}\, dx = 45 \int x^{3}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{45 x^{4}}{4}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 10 x^{2}\right)\, dx = - 10 \int x^{2}\, dx$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{10 x^{3}}{3}$
1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
  
  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
Результат есть: $\frac{x^{12}}{12} - \frac{10 x^{11}}{11} + \frac{9 x^{10}}{2} - \frac{40 x^{9}}{3} + \frac{105 x^{8}}{4} - 36 x^{7} + 35 x^{6} - 24 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{4} - \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{2} \cdot \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)}{132}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2} \cdot \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)}{132}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(11 x^{10} - 120 x^{9} + 594 x^{8} - 1760 x^{7} + 3465 x^{6} - 4752 x^{5} + 4620 x^{4} - 3168 x^{3} + 1485 x^{2} - 440 x + 66\right)}{132}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                                       
 |                       2                               9       3       11    12      10       4        8
 |          10          x        7       5       6   40*x    10*x    10*x     x     9*x     45*x    105*x 
 | x*(1 - x)   dx = C + -- - 36*x  - 24*x  + 35*x  - ----- - ----- - ------ + --- + ----- + ----- + ------
 |                      2                              3       3       11      12     2       4       4   
/

$${{11\,x^{12}-120\,x^{11}+594\,x^{10}-1760\,x^9+3465\,x^8-4752\,x^7+ 4620\,x^6-3168\,x^5+1485\,x^4-440\,x^3+66\,x^2}\over{132}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

1/132

$${{1}\over{132}}$$

1/132

$$\frac{1}{132}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.00757575757575758

0.00757575757575758

График

$Интеграл x*(1-x)^10 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x*(1-x)^10 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение