Интеграл x*cos(3*x)^(2) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 6 x$.

            Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{36}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{12}\, dx = \frac{\int \sin{\left(6 x \right)}\, dx}{12}$

      1. пусть $u = 6 x$.

         Тогда пусть $du = 6 dx$ и подставим $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{36}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{6}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{6}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{72}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{72}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{72}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{72}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x \sin{\left(6 x \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{72}+ \mathrm{constant}$