Производная x*cos(3*x)^(2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(3 x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$

   В результате: $- 6 x \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos^{2}{\left(3 x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- 3 x \sin{\left(6 x \right)} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

Ответ:

$- 3 x \sin{\left(6 x \right)} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$