Интеграл (x-1)^2/x^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x \right)}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2}} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x \right)}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x - 2 \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$