Господин Экзамен

Другие калькуляторы


(x-1)/(x^2+1)

Интеграл (x-1)/(x^2+1) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1          
  /          
 |           
 |  x - 1    
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0            
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 1}{x^{2} + 1}\, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:
  /           
 |            
 |   x - 1    
 | 1*------ dx
 |    2       
 |   x  + 1   
 |            
/             
Перепишем подинтегральную функцию
         /  1*2*x + 0   \                
         |--------------|       /-1 \    
         |   2          |       |---|    
x - 1    \1*x  + 0*x + 1/       \ 1 /    
------ = ---------------- + -------------
 2              2                   2    
x  + 1                      (-x + 0)  + 1
или
  /             
 |              
 |   x - 1      
 | 1*------ dx  
 |    2        =
 |   x  + 1     
 |              
/               
  
  /                                       
 |                                        
 |   1*2*x + 0                            
 | -------------- dx                      
 |    2                                   
 | 1*x  + 0*x + 1        /                
 |                      |                 
/                       |       1         
-------------------- -  | ------------- dx
         2              |         2       
                        | (-x + 0)  + 1   
                        |                 
                       /                  
В интеграле
  /                 
 |                  
 |   1*2*x + 0      
 | -------------- dx
 |    2             
 | 1*x  + 0*x + 1   
 |                  
/                   
--------------------
         2          
сделаем замену
     2
u = x 
тогда
интеграл =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     2            2     
делаем обратную замену
  /                               
 |                                
 |   1*2*x + 0                    
 | -------------- dx              
 |    2                           
 | 1*x  + 0*x + 1                 
 |                        /     2\
/                      log\1 + x /
-------------------- = -----------
         2                  2     
В интеграле
   /                
  |                 
  |       1         
- | ------------- dx
  |         2       
  | (-x + 0)  + 1   
  |                 
 /                  
сделаем замену
v = -x
тогда
интеграл =
   /                    
  |                     
  |   1                 
- | ------ dv = -atan(v)
  |      2              
  | 1 + v               
  |                     
 /                      
делаем обратную замену
   /                           
  |                            
  |       1                    
- | ------------- dx = -atan(x)
  |         2                  
  | (-x + 0)  + 1              
  |                            
 /                             
Решением будет:
       /     2\          
    log\1 + x /          
C + ----------- - atan(x)
         2               
Ответ (Неопределённый) [src]
  /                                     
 |                    /     2\          
 | x - 1           log\1 + x /          
 | ------ dx = C + ----------- - atan(x)
 |  2                   2               
 | x  + 1                               
 |                                      
/                                       
$${{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}-\arctan x$$
График
Ответ [src]
log(2)   pi
------ - --
  2      4 
$${{\log 2}\over{2}}-{{\pi}\over{4}}$$
=
=
log(2)   pi
------ - --
  2      4 
$$- \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$
Численный ответ [src]
-0.438824573117476
-0.438824573117476
График
Интеграл (x-1)/(x^2+1) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.