Интеграл (x-1/x)^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{- u^{4} + 2 u^{2} - 1}{u^{4}}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{- u^{4} + 2 u^{2} - 1}{u^{4}} = -1 + \frac{2}{u^{2}} - \frac{1}{u^{4}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3 u^{3}}$

         Результат есть: $- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2} = \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x^{2}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1}{x^{2}} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$