Господин Экзамен

Другие калькуляторы

((x-1)/x)^2
Построение графика функции/ ((x-1)/x)^2

График функции y = ((x-1)/x)^2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
              2
       /x - 1\ 
f(x) = |-----| 
       \  x  /
f(x)=(x−1x)2f{\left(x \right)} = \left(\frac{x - 1}{x}\right)^{2} 
f = ((x - 1*1)/x)^2
График функции
02468-8-6-4-2-10100500
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
(x−1x)2=0\left(\frac{x - 1}{x}\right)^{2} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=0.999999890606237x_{1} = 0.999999890606237
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в ((x - 1*1)/x)^2.
((−1)1+00)2\left(\frac{\left(-1\right) 1 + 0}{0}\right)^{2}
Результат:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
x(x−1)2x2⋅(2x−2(x−1)x2)x−1=0\frac{x \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2}} \cdot \left(\frac{2}{x} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=1x_{1} = 1
Зн. экстремумы в точках:
            2 
(1, (-1 + 1) )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1x_{1} = 1
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2⋅(1−3(x−1)x)(1−x−1x)x2=0\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{3 \left(x - 1\right)}{x}\right) \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right)}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2⋅(1−3(x−1)x)(1−x−1x)x2)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{3 \left(x - 1\right)}{x}\right) \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
lim⁡x→0+(2⋅(1−3(x−1)x)(1−x−1x)x2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{3 \left(x - 1\right)}{x}\right) \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right)}{x^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Выпуклая на промежутках
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x)2=1\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 1}{x}\right)^{2} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x−1x)2=1\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x}\right)^{2} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции ((x - 1*1)/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x2(x−1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x2(x−1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(x−1x)2=(−x−1)2x2\left(\frac{x - 1}{x}\right)^{2} = \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{x^{2}}
- Нет
(x−1x)2=−(−x−1)2x2\left(\frac{x - 1}{x}\right)^{2} = - \frac{\left(- x - 1\right)^{2}}{x^{2}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = ((x-1)/x)^2
    © Господин Экзамен – Калькулятор