Интеграл x-log(x) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Таким образом, результат будет: $- x \log{\left(x \right)} + x$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x \log{\left(x \right)} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x \left(x - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x \left(x - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \left(x - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}$