Интеграл 2*log(x)-log(x+2) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Таким образом, результат будет: $2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \log{\left(x + 2 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- x + \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 2$

         Метод #2

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Результат есть: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2$

   Результат есть: $2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2$

2. Теперь упростить:

   $2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$