Интеграл x/(1+2*x) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = 2 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$