Интеграл x/(1-2*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 2 x - 1$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

      Результат есть: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{x}{2 x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{2 x - 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x - 1$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{4 u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$