Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (cos(x))^3
Интеграл e^(1/x)/x^2
Интеграл x^2+2
Интеграл (x+3)
Идентичные выражения
(один -x)/(один - два *x)
(1 минус x) делить на (1 минус 2 умножить на x)
(один минус x) делить на (один минус два умножить на x)
(1-x)/(1-2x)
1-x/1-2x
(1-x) разделить на (1-2*x)
(1-x)/(1-2*x)dx
Похожие выражения
(1+x)/(1-2*x)
(1-x)/(1+2*x)

Решение интегралов/ (1-x)/(1-2*x)

Интеграл (1-x)/(1-2*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |   1 - x    
 |  ------- dx
 |  1 - 2*x   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{- x + 1}{- 2 x + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = - x$ .
  
  Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{- u - 1}{2 u + 1}\, du$
  1. пусть $u = - u$ .
    
    Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{u - 1}{2 u - 1}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{u - 1}{2 u - 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 u - 1\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 u - 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{2 u - 1}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(- 2 u - 1 \right)}}{4}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1 - x}{1 - 2 x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 2 x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1 - x}{1 - 2 x} = \frac{x - 1}{2 x - 1}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x - 1}{2 x - 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = 2 x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
Метод #4
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1 - x}{1 - 2 x} = - \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{1}{1 - 2 x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{1 - 2 x}\right)\, dx = - \int \frac{x}{1 - 2 x}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = 2 x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
      
      Результат есть: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 1 - 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{2}$
    Метод #2
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2 x - 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$
    
    пусть $u = 2 x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    Метод #3
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2 x - 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$
    
    пусть $u = 2 x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{4 u}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
    
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                  
 |                                   
 |  1 - x           x   log(-1 + 2*x)
 | ------- dx = C + - - -------------
 | 1 - 2*x          2         4      
 |                                   
/

$${{x}\over{2}}-{{\log \left(2\,x-1\right)}\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

nan

$${{1}\over{2}}$$

nan

$$\text{NaN}$$

Упростить

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (1-x)/(1-2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Метод #1

Метод #2

Метод #3