Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл cos(x)^(2)
Интеграл 1/cos(x)^(3)
Интеграл (cos(x))^5
Интеграл x^3/(x^2+4)
Производная:
x/(1-x^4)
Идентичные выражения
x/(один -x^ четыре)
x делить на (1 минус x в степени 4)
x делить на (один минус x в степени четыре)
x/(1-x4)
x/1-x4
x/(1-x⁴)
x/1-x^4
x разделить на (1-x^4)
x/(1-x^4)dx
Похожие выражения
x/((1-x^4)^(1/2))
x/(1+x^4)
x/(1-(x^4))

Интеграл x/(1-x^4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |       4   
 |  1 - x    
 |           
/            
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{- x^{4} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = x^{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $- du$ :
  
  $\int \frac{1}{2 u^{2} - 2}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{2 u^{2} - 2}\right)\, du = - \int \frac{1}{2 u^{2} - 2}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{2 u^{2} - 2} = \frac{- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u - 1}}{4}$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u - 1}}{4}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u - 1}\right)\, du}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - 1}$ есть $\log{\left(u - 1 \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + 1}$ есть $\log{\left(u + 1 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 1 \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - 1 \right)} - \log{\left(u + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x}{1 - x^{4}} = \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}$
    1. пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}$
  Результат есть: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{x}{1 - x^{4}} = - \frac{x}{x^{4} - 1}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{x}{x^{4} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{4} - 1}\, dx$
  1. пусть $u = x^{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u^{2} - 2}\, du$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{2 u^{2} - 2} = \frac{- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u - 1}}{4}$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u - 1}}{4}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u - 1}\right)\, du}{4}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{u - 1}$ есть $\log{\left(u - 1 \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u + 1}$ есть $\log{\left(u + 1 \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 1 \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(u - 1 \right)} - \log{\left(u + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                          
 |                    /      2\      /     2\
 |   x             log\-1 + x /   log\1 + x /
 | ------ dx = C - ------------ + -----------
 |      4               4              4     
 | 1 - x                                     
 |                                           
/

$${{\log \left(x^2+1\right)}\over{4}}-{{\log \left(x^2-1\right) }\over{4}}$$

Упростить

Ответ [src]

     pi*I
oo + ----
      4

$${\it \%a}$$

     pi*I
oo + ----
      4

$$\infty + \frac{i \pi}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

11.0227391965541

11.0227391965541

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x/(1-x^4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3