Интеграл (sin(x))^3 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 5\right) \cos{\left(x \right)}}{6}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 5\right) \cos{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} - 5\right) \cos{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$