Интеграл x*sin(x)^(3) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |       3      
 |  x*sin (x) dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} x \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$
2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \left(-1\right)\, du = - u$
      
      Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} - u$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
    Результат есть: $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$
Теперь решаем под-интеграл.
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{3}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
  2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int 1\, du = u$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Интеграл от косинуса есть синус:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- \sin{\left(x \right)}$
Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{x \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                             
 |                       3                   /             3   \
 |      3             sin (x)   2*sin(x)     |          cos (x)|
 | x*sin (x) dx = C + ------- + -------- + x*|-cos(x) + -------|
 |                       9         3         \             3   /
/

$$-{{\sin \left(3\,x\right)-3\,x\,\cos \left(3\,x\right)-27\,\sin x+ 27\,x\,\cos x}\over{36}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

       3           3                            2          
  2*cos (1)   7*sin (1)      2             2*cos (1)*sin(1)
- --------- + --------- - sin (1)*cos(1) + ----------------
      3           9                               3

$$-{{\sin 3-3\,\cos 3-27\,\sin 1+27\,\cos 1}\over{36}}$$

       3           3                            2          
  2*cos (1)   7*sin (1)      2             2*cos (1)*sin(1)
- --------- + --------- - sin (1)*cos(1) + ----------------
      3           9                               3

$$- \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} - \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{2 \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{3} + \frac{7 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{9}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.139457134264229

0.139457134264229

График

$Интеграл x*sin(x)^(3) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x*sin(x)^(3) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3