Интеграл (e^x-1)/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1 - e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1 - e^{\frac{1}{u}}}{u} = - \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u} + \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du$

            1. пусть $u = \frac{1}{u}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{du}{u^{2}}$ и подставим $- du$:

               $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du$

                  EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                  Таким образом, результат будет: $- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Результат есть: $\log{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{e^{x}}{x} - \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$