Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(12-3*x^2)/(x^2+12)
-
x^3+5*x^2+7*x-5
-
4*x-8*cos(x)
-
(e^x-1)/x
- Интеграл d{x}:
- (e^x-1)/x
- Производная:
-
(e^x-1)/x
-
Идентичные выражения
- (e^x- один)/x
- (e в степени x минус 1) делить на x
- (e в степени x минус один) делить на x
- (ex-1)/x
- ex-1/x
- e^x-1/x
- (e^x-1) разделить на x
-
Похожие выражения
- (e^(x-1))/(x+3)
- (e^x+1)/x
- ((e^(x-1))/x)
График функции y = (e^x-1)/x
Решение
Вы ввели
[src]
x
e - 1
f(x) = ------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x} - 1}{x}$$
f = (E^x - 1*1)/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -41467.0337078697$$
$$x_{2} = -25362.5803223436$$
$$x_{3} = -12648.5869326509$$
$$x_{4} = -34686.2081625031$$
$$x_{5} = -18581.7718990583$$
$$x_{6} = -32991.0023120587$$
$$x_{7} = -37229.0173858502$$
$$x_{8} = -15191.3762140647$$
$$x_{9} = -40619.4303623627$$
$$x_{10} = -16886.5729892827$$
$$x_{11} = -28752.9890385016$$
$$x_{12} = -19429.3719797754$$
$$x_{13} = -42314.6370890542$$
$$x_{14} = -16038.9742925428$$
$$x_{15} = -35533.8111815333$$
$$x_{16} = -24514.9784989468$$
$$x_{17} = -20276.9724079398$$
$$x_{18} = -27905.3866720051$$
$$x_{19} = -21124.5731417223$$
$$x_{20} = -30448.1940837816$$
$$x_{21} = -39771.8270548144$$
$$x_{22} = -36381.4142572736$$
$$x_{23} = -27057.7844226494$$
$$x_{24} = -17734.1722156161$$
$$x_{25} = -21972.1741457489$$
$$x_{26} = -22819.7753899021$$
$$x_{27} = -32143.3994905401$$
$$x_{28} = -31295.7967456477$$
$$x_{29} = -13496.1823781368$$
$$x_{30} = -38924.2237877047$$
$$x_{31} = -38076.6205637343$$
$$x_{32} = -11800.9927549711$$
$$x_{33} = -26210.1823018004$$
$$x_{34} = -23667.3768483792$$
$$x_{35} = -29600.5915120748$$
$$x_{36} = -33838.605204445$$
$$x_{37} = -14343.7788634966$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -41467.0337078697$$
$$x_{2} = -25362.5803223436$$
$$x_{3} = -12648.5869326509$$
$$x_{4} = -34686.2081625031$$
$$x_{5} = -18581.7718990583$$
$$x_{6} = -32991.0023120587$$
$$x_{7} = -37229.0173858502$$
$$x_{8} = -15191.3762140647$$
$$x_{9} = -40619.4303623627$$
$$x_{10} = -16886.5729892827$$
$$x_{11} = -28752.9890385016$$
$$x_{12} = -19429.3719797754$$
$$x_{13} = -42314.6370890542$$
$$x_{14} = -16038.9742925428$$
$$x_{15} = -35533.8111815333$$
$$x_{16} = -24514.9784989468$$
$$x_{17} = -20276.9724079398$$
$$x_{18} = -27905.3866720051$$
$$x_{19} = -21124.5731417223$$
$$x_{20} = -30448.1940837816$$
$$x_{21} = -39771.8270548144$$
$$x_{22} = -36381.4142572736$$
$$x_{23} = -27057.7844226494$$
$$x_{24} = -17734.1722156161$$
$$x_{25} = -21972.1741457489$$
$$x_{26} = -22819.7753899021$$
$$x_{27} = -32143.3994905401$$
$$x_{28} = -31295.7967456477$$
$$x_{29} = -13496.1823781368$$
$$x_{30} = -38924.2237877047$$
$$x_{31} = -38076.6205637343$$
$$x_{32} = -11800.9927549711$$
$$x_{33} = -26210.1823018004$$
$$x_{34} = -23667.3768483792$$
$$x_{35} = -29600.5915120748$$
$$x_{36} = -33838.605204445$$
$$x_{37} = -14343.7788634966$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (E^x - 1*1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = - \frac{-1 + e^{- x}}{x}$$
- Нет
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{-1 + e^{- x}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = - \frac{-1 + e^{- x}}{x}$$
- Нет
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{-1 + e^{- x}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График