Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(e^x-1)/x
Построение графика функции/ (e^x-1)/x

График функции y = (e^x-1)/x

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        x    
       e  - 1
f(x) = ------
         x
f(x)=ex−1xf{\left(x \right)} = \frac{e^{x} - 1}{x} 
f = (E^x - 1*1)/x
График функции
02468-8-6-4-2-101002500
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
ex−1x=0\frac{e^{x} - 1}{x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (E^x - 1*1)/x.
(−1)1+e00\frac{\left(-1\right) 1 + e^{0}}{0}
Результат:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- решений у уравнения нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
exx−ex−1x2=0\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x} - 1}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
ex−2exx+2(ex−1)x2x=0\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=−41467.0337078697x_{1} = -41467.0337078697
x2=−25362.5803223436x_{2} = -25362.5803223436
x3=−12648.5869326509x_{3} = -12648.5869326509
x4=−34686.2081625031x_{4} = -34686.2081625031
x5=−18581.7718990583x_{5} = -18581.7718990583
x6=−32991.0023120587x_{6} = -32991.0023120587
x7=−37229.0173858502x_{7} = -37229.0173858502
x8=−15191.3762140647x_{8} = -15191.3762140647
x9=−40619.4303623627x_{9} = -40619.4303623627
x10=−16886.5729892827x_{10} = -16886.5729892827
x11=−28752.9890385016x_{11} = -28752.9890385016
x12=−19429.3719797754x_{12} = -19429.3719797754
x13=−42314.6370890542x_{13} = -42314.6370890542
x14=−16038.9742925428x_{14} = -16038.9742925428
x15=−35533.8111815333x_{15} = -35533.8111815333
x16=−24514.9784989468x_{16} = -24514.9784989468
x17=−20276.9724079398x_{17} = -20276.9724079398
x18=−27905.3866720051x_{18} = -27905.3866720051
x19=−21124.5731417223x_{19} = -21124.5731417223
x20=−30448.1940837816x_{20} = -30448.1940837816
x21=−39771.8270548144x_{21} = -39771.8270548144
x22=−36381.4142572736x_{22} = -36381.4142572736
x23=−27057.7844226494x_{23} = -27057.7844226494
x24=−17734.1722156161x_{24} = -17734.1722156161
x25=−21972.1741457489x_{25} = -21972.1741457489
x26=−22819.7753899021x_{26} = -22819.7753899021
x27=−32143.3994905401x_{27} = -32143.3994905401
x28=−31295.7967456477x_{28} = -31295.7967456477
x29=−13496.1823781368x_{29} = -13496.1823781368
x30=−38924.2237877047x_{30} = -38924.2237877047
x31=−38076.6205637343x_{31} = -38076.6205637343
x32=−11800.9927549711x_{32} = -11800.9927549711
x33=−26210.1823018004x_{33} = -26210.1823018004
x34=−23667.3768483792x_{34} = -23667.3768483792
x35=−29600.5915120748x_{35} = -29600.5915120748
x36=−33838.605204445x_{36} = -33838.605204445
x37=−14343.7788634966x_{37} = -14343.7788634966
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(ex−2exx+2(ex−1)x2x)=13\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}
Возьмём предел
lim⁡x→0+(ex−2exx+2(ex−1)x2x)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (E^x - 1*1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex−1x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(ex−1x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
ex−1x=−−1+e−xx\frac{e^{x} - 1}{x} = - \frac{-1 + e^{- x}}{x}
- Нет
ex−1x=−1+e−xx\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{-1 + e^{- x}}{x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (e^x-1)/x
    © Господин Экзамен – Калькулятор