Интеграл exp(x/2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int 4 e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 e^{\frac{x}{2}}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{\frac{x}{2}}$.

      Тогда пусть $du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int 4\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2\, du = 2 \int 1\, du$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 e^{\frac{x}{2}}$

2. Теперь упростить:

   $2 e^{\frac{x}{2}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$