Интеграл 2*x*cos(x^2) d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(x^{2} \right)}\, dx$

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\sin{\left(x^{2} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\sin{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\sin{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$