Производная 2*x*cos(x^2)

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}$

      В результате: $- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}$

   Таким образом, в результате: $- 4 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 2 \cos{\left(x^{2} \right)}$

Ответ:

$- 4 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 2 \cos{\left(x^{2} \right)}$