Интеграл (2*x-1)/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u - 1}{u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

         Результат есть: $u - \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 x - \log{\left(2 x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x - 1}{x} = 2 - \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)}$

      Результат есть: $2 x - \log{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x - \log{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x - \log{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$