Интеграл 2*log(x)/x^2 d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx = 2 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u e^{- u}\, du$

         1. пусть $u = - u$.

            Тогда пусть $du = - du$ и подставим $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- u e^{- u} - e^{- u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{2}{x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2 \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x}+ \mathrm{constant}$