Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Решение интегралов/ 1/sin(2*x)

Интеграл 1/sin(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |    sin(2*x)   
 |               
/                
0
$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$$
Упростить
Подробное решение
Дан интеграл:
  /               
 |                
 |        1       
 | 1*1*-------- dx
 |     sin(2*x)   
 |                
/
Подинтегральная функция
     1    
1*--------
  sin(2*x)
Домножим числитель и знаменатель на
sin(2*x)
получим
     1       1*sin(2*x)
1*-------- = ----------
  sin(2*x)      2      
             sin (2*x)
Т.к.
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
то
   2               2     
sin (2*x) = 1 - cos (2*x)
преобразуем знаменатель
1*sin(2*x)     1*sin(2*x) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (2*x)    1 - cos (2*x)
сделаем замену
u = cos(2*x)
тогда интеграл
  /                  
 |                   
 |   1*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |   1*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/
Т.к. du = -2*dx*sin(2*x)
  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/
Перепишем подинтегральную функцию
   -1        1*-1/2 /  1       1  \
---------- = ------*|----- + -----|
  /     2\     2    \1 - u   1 + u/
2*\1 - u /
тогда
                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             4             4       
 | 2*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  
= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4
делаем обратную замену
u = cos(2*x)
Ответ
  /                                                               
 |                                                                
 |        1            log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))     
 | 1*1*-------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0
 |     sin(2*x)                4                   4              
 |                                                                
/
где C0 - это постоянная, не зависящая от x
Ответ (Неопределённый) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 |      1              log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))
 | 1*-------- dx = C - ----------------- + ------------------
 |   sin(2*x)                  4                   4         
 |                                                           
/
$${{{{\log \left(\cos \left(2\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos \left(2\,x\right)+1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$
Упростить
Ответ [src] 
     pi*I
oo + ----
      4
$${\it \%a}$$ 
=
= 
     pi*I
oo + ----
      4
$$\infty + \frac{i \pi}{4}$$
Упростить
Численный ответ [src] 
22.2667344290549
22.2667344290549

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

    © Господин Экзамен – Калькулятор