Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 5*x+3*sin(x)
Интеграл sin(2*x+pi/8)
Интеграл dx/(9*x^2+4)
Интеграл 4^(2*x-1)
Производная:
atan(1/x)
Предел функции:
atan(1/x)
График функции y =:
atan(1/x)
Идентичные выражения
atan(один /x)
арктангенс от (1 делить на x)
арктангенс от (один делить на x)
atan1/x
atan(1 разделить на x)
atan(1/x)dx
Похожие выражения
atan(1)/x
arctan(1/x)

Решение интегралов/ atan(1/x)

Интеграл atan(1/x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |      /  1\   
 |  atan|1*-| dx
 |      \  x/   
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
  
  $\int 1\, dx = x$
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int \left(- \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = \frac{1}{x}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{1}{u^{3} + u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u^{3} + u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{3} + u}\, du$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{u^{3} + u} = - \frac{u}{u^{2} + 1} + \frac{1}{u}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$
      
      пусть $u = u^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Результат есть: $\log{\left(u \right)} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)} + \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{x}{x^{2} + 1}$
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{x}{x^{2} + 1}$
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
    1. пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  Метод #4
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$
  2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
    
    пусть $u = x^{2} + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Метод #2
    
    Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^{2} + 1}$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
    
    пусть $u = x^{2} + 1$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u}\, du$
    
    Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
Теперь упростить:

$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

                         /    1 \                       
  /                   log|1 + --|                       
 |                       |     2|                       
 |     /  1\             \    x /         /  1\         
 | atan|1*-| dx = C + ----------- + x*atan|1*-| + log(x)
 |     \  x/               2              \  x/         
 |                                                      
/

$${{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}+\arctan \left({{1}\over{x}} \right)\,x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

log(2)   pi
------ + --
  2      4

$${{2\,\log 2+\pi}\over{4}}$$

log(2)   pi
------ + --
  2      4

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

1.13197175367742

1.13197175367742

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл atan(1/x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Метод #1

Метод #2