x/(x-1)<0 неравенство

Дано неравенство:
$$\frac{x}{x - 1} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\frac{x}{x - 1} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{x}{x - 1} = 0$$
знаменатель
$$x - 1$$
тогда

x не равен 1

Т.к. правая часть уравнения равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части уравнения равен нулю.
Получим уравнения
$$x = 0$$
решаем получившиеся уравнения:
1.
$$x = 0$$
Получим ответ: x_1 = 0
но

x не равен 1

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x}{x - 1} < 0$$
$$- \frac{1}{10 \left(\left(-1\right) 1 - \frac{1}{10}\right)} < 0$$

1/11 < 0

но

1/11 > 0

Тогда
$$x < 0$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 0$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1