Производная tan(x)/sin(x)

Решение

Вы ввели [src]

tan(x)
------
sin(x)

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /tan(x)\
--|------|
dx\sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2                   
1 + tan (x)   cos(x)*tan(x)
----------- - -------------
   sin(x)           2      
                 sin (x)

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/         2   \                                     /       2   \       
|    2*cos (x)|            /       2   \          2*\1 + tan (x)/*cos(x)
|1 + ---------|*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) - ----------------------
|        2    |                                           sin(x)        
\     sin (x) /                                                         
------------------------------------------------------------------------
                                 sin(x)

$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                                    /         2   \                                              
                                                                    |    6*cos (x)|                                              
                                                                    |5 + ---------|*cos(x)*tan(x)                                
                                                  /         2   \   |        2    |                   /       2   \              
  /       2   \ /         2   \     /       2   \ |    2*cos (x)|   \     sin (x) /                 6*\1 + tan (x)/*cos(x)*tan(x)
2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + 3*\1 + tan (x)/*|1 + ---------| - ----------------------------- - -----------------------------
                                                  |        2    |               sin(x)                          sin(x)           
                                                  \     sin (x) /                                                                
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              sin(x)

$$\frac{3 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x)/sin(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение